Caractéristiques, formule et surface du triangle isocèle, calcul



Un triangle isocèle C'est un polygone à trois côtés, où deux d'entre eux ont la même mesure et le troisième côté une mesure différente. Ce dernier côté est appelé base. En raison de cette caractéristique, on lui a donné ce nom, qui signifie en grec "jambes égales"

Les triangles sont des polygones considérés comme les plus simples en géométrie, car ils sont formés par trois côtés, trois angles et trois sommets. Ce sont ceux qui ont le moins de côtés et d'angles par rapport aux autres polygones, mais leur utilisation est très étendue.

Index

  • 1 Caractéristiques des triangles isocèles
    • 1.1 Composants
  • 2 propriétés
    • 2.1 angles internes
    • 2.2 Somme des côtés
    • 2.3 côtés concordants
    • 2.4 angles de convergence
    • 2.5 La hauteur, la médiane, la bissectrice et la bissectrice coïncident
    • 2.6 Hauteurs relatives
    • 2.7 L'orthocentre, le barycenter, le stimulateur et le circoncentre
  • 3 Comment calculer le périmètre?
  • 4 Comment calculer la hauteur?
  • 5 Comment calculer la surface?
  • 6 Comment calculer la base du triangle?
  • 7 exercices
    • 7.1 Premier exercice
    • 7.2 Deuxième exercice
    • 7.3 Troisième exercice
  • 8 références

Caractéristiques des triangles isocèles

Le triangle isocèle a été classé en utilisant comme paramètre le meilleur de ses côtés, parce que deux côtés sont congruents (ont la même longueur).

Selon l'amplitude des angles internes, les triangles isocèles sont classés comme suit:

  • Triangle isocèle rectangulaire: deux de ses côtés sont égaux. Un de ses angles est droit (90o) et les autres sont les mêmes (45o chacun)
  • Triangle à angle obtus isocèle: deux de ses côtés sont égaux. Un de ses angles est obtus (> 90o).
  • Triangle à angle aigu isocèle: deux de ses côtés sont égaux. Tous les angles sont nets (<90o), où deux ont la même mesure.

Composants

  • La médiane: est une ligne qui part du milieu d'un côté et atteint le sommet opposé. Les trois médianes concourent dans un point appelé centrocenter ou centro centroïde.
  • La bissectrice: est un rayon qui divise l'angle de chaque sommet en deux angles de taille égale. C'est pourquoi on l'appelle l'axe de symétrie et ce type de triangles n'en a qu'un.
  • La mediatrix: est un segment perpendiculaire au côté du triangle, qui provient du milieu de celui-ci. Il y a trois médiateurs dans un triangle et concourent dans un point appelé circumcenter.
  • L'hauteur: est la ligne qui va du sommet au côté opposé et aussi cette ligne est perpendiculaire à ce côté. Tous les triangles ont trois hauteurs, qui coïncident à un point appelé orthocentre.

Propriétés

triangles isocèles sont définis ou identifiés parce qu'ils ont plusieurs propriétés qui représentent théorèmes originés proposés par grande mathématique:

Angles internes

La somme des angles internes est toujours égale à 180o.

Somme des côtés

La somme des mesures des deux côtés doit toujours être supérieure à la mesure du troisième côté, a + b> c.

Côtés congruents

Les triangles isocèles ont deux côtés ayant la même mesure ou la même longueur; c'est-à-dire qu'ils sont congruents et que le troisième côté est différent de ceux-ci.

Angles congruents

triangles isocèles sont connus comme isoángulos triangles aussi, car ils ont deux angles ont la même taille (constante). Ceux-ci sont situés à la base du triangle, en face des côtés qui ont la même longueur.

De ce fait, le théorème qui établit que:

"Si un triangle a deux côtés congruents, les angles opposés à ces côtés seront également congruents." Par conséquent, si un triangle est isocèle, les angles de ses bases sont congruents.

Exemple:

La figure suivante montre un triangle ABC. En dessinant la bissectrice de l'angle au sommet de la base B, le triangle est divisé en deux triangles égaux et BDA BDC:

Ainsi, l'angle du sommet B était également divisé en deux angles égaux. La bissectrice est maintenant le côté (BD) commun à ces deux nouveaux triangles, tandis que les côtés AB et BC sont les côtés congruents. C'est le cas du côté congruence, de l'angle, du côté (LAL).

Cela montre que les angles des sommets A et C ont la même mesure, ainsi que peut être démontré que BDA BDC et triangles sont congruents, les côtés AD et DC sont également.

La hauteur, la médiane, la bissectrice et la bissectrice coïncident

La ligne est tracée à partir du sommet opposé à la base du point médian de la base du triangle isocèle, il est à la fois la hauteur, la médiane et la bissectrice, ainsi que la bissectrice de l'angle opposé de la base.

Tous ces segments coïncident dans un seul qui les représente.

Exemple:

La figure suivante montre le triangle ABC avec un point milieu M qui divise la base en deux segments BM et CM.

Pour tracer un segment à partir du point M au sommet opposé, par définition support d'AM, qui est par rapport au sommet A et le côté BC est obtenu.

Comme le segment divise le triangle ABC AM en deux triangles égaux et AMB AMC, cela signifie que le cas du côté de l'angle du côté de la congruence et donc seront également la bissectrice AM BAC.

C'est pourquoi la bissectrice sera toujours égale à la médiane et inversement.

Le segment AM forme des angles qui ont la même mesure pour les triangles AMB et AMC; c'est-à-dire qu'ils sont complémentaires de telle sorte que la mesure de chacun sera:

Med. (AMB) + Med. (AMC) = 180o

2 * Med. (AMC) = 180o

Med. (AMC) = 180o ÷ 2

Med. (AMC) = 90o

Vous pouvez savoir que les angles formés par le segment AM à la base du triangle sont rectilignes, ce qui indique que le segment est totalement perpendiculaire à la base.

Par conséquent, il représente la hauteur et la bissectrice, sachant que M est le milieu.

Donc la ligne AM:

  • Il représente la hauteur de la Colombie-Britannique.
  • C'est moyen.
  • Il est contenu dans la médiathèque de la Colombie-Britannique.
  • C'est la bissectrice de l'angle du sommet

Hauteurs relatives

Les hauteurs relatives aux côtés égaux ont également la même mesure.

Le triangle isocèle ayant deux côtés égaux, leurs deux hauteurs respectives seront également égales.

Orthocentre, barycenter, stimulateur et circoncentres coïncident

Comme la hauteur, la bissectrice médian bissectrice et sur la base, sont représentés à la fois par un seul segment, le orthocenter, et Incentro centroïde circumcenter être des points alignés, à savoir qu'ils étaient dans la même ligne:

Comment calculer le périmètre?

Le périmètre d'un polygone est calculé par la somme des côtés.

Comme dans ce cas le triangle isocèle a deux côtés avec la même mesure, son périmètre est calculé avec la formule suivante:

P = 2*(côté a) + (côté b).

Comment calculer la hauteur?

La hauteur est la ligne perpendiculaire à la base, divise le triangle en deux parties égales en s'étendant au sommet opposé.

La hauteur représente le côté opposé (a), la moitié de la base (b / 2) adjacent à la jambe et le côté « a » représente l'hypoténuse.

En utilisant le théorème de Pythagore, vous pouvez déterminer la valeur de la hauteur:

un2 + b2 = c2

Où:

un2 = hauteur (h).

b2 = b / 2.

c2 = côté a

En substituant ces valeurs dans le théorème de Pythagore et en clarifiant la hauteur, nous avons:

h2 + (b / 2)2 = un2

h2 + b2 / 4 = un2

h2 = un2 - b2 / 4

h = √ (un2 - b2 / 4).

Si l'angle formé par les côtés congruents est connu, la hauteur peut être calculée avec la formule suivante:

Comment calculer la surface?

La surface des triangles est toujours calculée avec la même formule, en multipliant la base par la hauteur et en divisant par deux:

Il existe des cas où seules les mesures des deux côtés du triangle et l'angle formé entre eux sont connus. Dans ce cas, pour déterminer l'aire, il est nécessaire d'appliquer les rapports trigonométriques:

Comment calculer la base du triangle?

Comme le triangle isocèle a deux côtés égaux, pour déterminer la valeur de votre base, vous devez savoir au moins la mesure de la hauteur ou l'un de ses angles.

Connaissant la hauteur, le théorème de Pythagore est utilisé:

un2 + b2 = c2

Où:

un2 = hauteur (h).

c2 = côté a

b2 = b / 2, est inconnu.

Nous avons dégagé b2 de la formule et nous devons:

b2 = a2 - c2

b = √ a2 - c2

Comme cette valeur correspond à la moitié de la base, elle doit être multipliée par deux pour obtenir la mesure complète de la base du triangle isocèle:

B = 2 * (√ un2 - c2)

Dans le cas où seule la valeur de ses côtés égaux et l'angle entre eux sont connus, la trigonométrie est appliquée, en traçant une ligne du sommet à la base qui divise le triangle isocèle en deux triangles rectangles.

De cette manière, la moitié de la base est calculée avec:

Il est également possible que seule la valeur de la hauteur et de l'angle du sommet opposé à la base soit connue. Dans ce cas, par trigonométrie, la base pourrait être déterminée:

Des exercices

Premier exercice

Trouver la zone du triangle isocèle ABC, sachant que deux de ses côtés mesurent 10 cm et le troisième côté mesure 12 cm.

Solution

Pour trouver l'aire du triangle, il est nécessaire de calculer la hauteur en utilisant la formule de l'aire liée au théorème de Pythagore, car la valeur de l'angle formé entre les côtés égaux n'est pas connue.

Nous avons les données suivantes du triangle isocèle:

  • Côtés égaux (a) = 10 cm.
  • Base (b) = 12 cm.

Les valeurs de la formule sont remplacées:

Deuxième exercice

La longueur des deux côtés égaux d'un triangle isocèle mesure 42 cm, l'union de ces côtés formant un angle de 130o. Détermine la valeur du troisième côté, la surface de ce triangle et le périmètre.

Solution

Dans ce cas, les mesures des côtés et de l'angle entre elles sont connues.

Pour comprendre la valeur de la partie manquante, à savoir, la base du triangle, une ligne perpendiculaire à la présente est tracée en divisant l'angle en deux parties égales, un pour chaque forme de triangle rectangle.

  • Côtés égaux (a) = 42 cm.
  • Angle (Ɵ) = 130o

Maintenant, par trigonométrie, la valeur de la moitié de la base est calculée, ce qui correspond à la moitié de l'hypoténuse:

Pour calculer la zone que vous devez connaître la hauteur du triangle qui pourrait être calculé par la trigonométrie ou le théorème de Pythagore, maintenant que la valeur de base a été déterminée.

Par trigonométrie ce sera:

Le périmètre est calculé:

P = 2*(côté a) + (côté b).

P = 2* (42 cm) + (76 cm)

P = 84 cm + 76 cm

P = 160 cm.

Troisième exercice

Le calcul des angles du triangle isocèle, sachant que l'angle de base est = 55o

Solution

Pour trouver les deux angles manquants (E et O) est nécessaire de se rappeler deux propriétés des triangles:

  • La somme des angles internes de chaque triangle sera toujours = 180o:

 + Ê + Ô = 180 o

  • Dans un triangle isocèle les angles de base sont toujours cohérentes, à savoir qu'ils ont la même mesure, par conséquent:

 = Ô

Ê = 55o

Pour déterminer la valeur d'angle E, les valeurs des autres angles sont remplacés par la première règle et efface E:

55o + 55o + Ô= 180 o

110 o + Ô = 180 o

Ô = 180 o - 110 o

Ô = 70 o.

Références

  1. Álvarez, E. (2003). Eléments de géométrie: avec nombreux exercices et géométrie de la boussole. Université de Medellin.
  2. Álvaro Rendón, A. R. (2004). Dessin technique: cahier d’activité.
  3. Angel, A. R. (2007). Algèbre élémentaire Pearson Education.
  4. Arthur Goodman, L. H. (1996). Algèbre et trigonométrie avec géométrie analytique. Pearson Education.
  5. Baldor, A. (1941). Algèbre La Havane: Culture.
  6. José Jiménez, L. J. (2006). Mathématiques 2.
  7. Tuma, J. (1998). Manuel de mathématiques d'ingénierie. Wolfram MathWorld