Caractéristiques du triangle, formule et zones, calcul



Un triangle scalène c'est un polygone à trois côtés, où chacun a des mesures ou des longueurs différentes; pour cette raison, il est nommé scalène, qui en latin signifie escalade.

Les triangles sont des polygones considérés comme les plus simples en géométrie, car ils sont formés de trois côtés, de trois angles et de trois sommets. Dans le cas du triangle scalène, car il a tous les côtés différents, cela implique que ses trois angles le seront aussi.

Index

  • 1 Caractéristiques des triangles scalènes
    • 1.1 Composants
  • 2 propriétés
    • 2.1 angles internes
    • 2.2 Somme des côtés
    • 2.3 Côtés incompatibles
    • 2.4 Angles incohérents
    • 2.5 La hauteur, la médiane, la bissectrice et la bissectrice ne coïncident pas
    • 2.6 Orthocentre, barycenter, stimulateur et circoncentre ne coïncident pas
    • 2.7 Hauteurs relatives
  • 3 Comment calculer le périmètre?
  • 4 Comment calculer la superficie?
  • 5 Comment calculer la hauteur?
  • 6 Comment calculer les côtés?
  • 7 exercices
    • 7.1 Premier exercice
    • 7.2 Deuxième exercice
    • 7.3 Troisième exercice
  • 8 références

Caractéristiques des triangles scalènes

triangles scalènes sont des polygones simples parce qu'aucun de ses côtés ou des angles a la même mesure, à la différence des triangles isocèles et équilatéraux.

Comme tous les côtés et les angles ont des mesures différentes, ces triangles sont considérés comme des polygones convexes irréguliers.

Selon l'amplitude des angles internes, les triangles scalènes sont classés comme suit:

  • Triangle rectangle: tous ses côtés sont différents. Un de ses angles est droit (90o) et les autres sont tranchants et avec des mesures différentes.
  • Triangle à angle obtus: tous ses côtés sont différents et l'un de ses angles est obtus (> 90o).
  • Triangle d'angle acut: tous ses côtés sont différents. Tous les angles sont nets (<90o), avec des mesures différentes.

Une autre caractéristique de triangles scalènes est qu'en raison de l'incohérence de leurs côtés et les angles, n'a pas d'axe de symétrie.

Composants

La médiane: est une ligne qui part du milieu d'un côté et atteint le sommet opposé. Les trois médianes concourent dans un point appelé centrocenter ou centro centroïde.

La bissectrice: est un rayon qui divise chaque angle en deux angles de taille égale. Les bissectrices d'un triangle concourent à un point appelé incentive.

La mediatrix: est un segment perpendiculaire au côté du triangle, qui provient du milieu de celui-ci. Il y a trois médiateurs dans un triangle et concourent dans un point appelé circumcenter.

L'hauteur: est la ligne qui va du sommet au côté opposé et aussi cette ligne est perpendiculaire à ce côté. Tous les triangles ont trois hauteurs qui coïncident à un point appelé orthocentre.

Propriétés

triangles scalènes sont définis ou identifiés parce qu'ils ont plusieurs propriétés qui représentent leur origine théorèmes proposés par de grands mathématiciens. Elles sont:

Angles internes

La somme des angles internes est toujours égale à 180o.

Somme des côtés

La somme des mesures des deux côtés doit toujours être supérieure à la mesure du troisième côté, a + b> c.

Côtés incohérents

Tous les côtés des triangles scalènes ont des mesures ou des longueurs différentes; c'est-à-dire qu'ils sont incongrus.

Angles incohérents

Puisque tous les côtés du triangle scalène sont différents, leurs angles seront également différents. Cependant, la somme des angles sera toujours égale à 180, et dans certains cas, l'un de ses angles peut être obtus ou droit, tandis que dans d'autres sous tous les angles sont aigus.

La hauteur, la médiane, la bissectrice et la bissectrice ne coïncident pas

Comme tout triangle, isocèle a plusieurs segments de ligne qui la composent, comme le sont: haute, moyenne et bissectrice mediatriz.

En raison de la particularité de ses côtés, aucune de ces lignes ne coïncidera dans un seul triangle.

Orthocenter, barycenter, stimulateur et circoncentre ne coïncident pas

En hauteur, bissectrice médiane bissectrice et ils sont représentés par différents segments de ligne dans un point-la réunion triangle isocèle orthocenter et circuncentro- Incentro barycentre seront situés à différents endroits (correspond pas).

Selon que le triangle est aigu, rectangle ou scalène, l'orthocentre a des emplacements différents:

a. Si le triangle est aigu, l'orthocentre sera à l'intérieur du triangle.

b. Si le triangle est un rectangle, l'orthocentre coïncidera avec le sommet du côté droit.

c. Si le triangle est obtus, l'orthocentre sera à l'extérieur du triangle.

Hauteurs relatives

Les hauteurs sont relatives aux côtés.

Dans le cas du triangle scalène, ces hauteurs auront des mesures différentes. Chaque triangle a trois hauteurs relatives et pour les calculer, la formule de Heron est utilisée.

Comment calculer le périmètre?

Le périmètre d'un polygone est calculé par la somme des côtés.

Comme dans ce cas le triangle scalène a tous ses côtés avec des mesures différentes, son périmètre sera:

P = côté a + côté b + côté c.

Comment calculer la surface?

La surface des triangles est toujours calculée avec la même formule, en multipliant la base par la hauteur et en divisant par deux:

Area = (base * h) 2)

Dans certains cas, la hauteur du triangle scalène n'est pas connue, mais il existe une formule proposée par le mathématicien Heron pour calculer l'aire en connaissant la mesure des trois côtés d'un triangle.

Où:

  • a, b et c représentent les côtés du triangle.
  • sp, correspond au semiperimètre du triangle, soit la moitié du périmètre:

sp = (a + b + c) ÷ 2

Si vous ne disposez que de la mesure de deux des côtés du triangle et de l'angle formé entre eux, vous pouvez calculer l'aire en appliquant les rapports trigonométriques. Donc, vous devez:

Surface = (côté * h) 2)

Où la hauteur (h) est le produit d'un côté par le sinus de l'angle opposé. Par exemple, pour chaque côté, la zone sera:

  • Area = (b * c * sen A) ÷ 2
  • Area = (a * c * sen B) ÷ 2.
  • Area = (a * b * sen C) ÷ 2

Comment calculer la hauteur?

Comme tous les côtés du triangle scalène sont différents, il est impossible de calculer la hauteur avec le théorème de Pythagore.

De la formule de Heron, qui est basée sur les mesures des trois côtés d'un triangle, la zone peut être calculée.

La hauteur peut être effacée de la formule générale de la zone:

Le côté est remplacé par la mesure du côté a, b ou c.

Une autre façon de calculer la hauteur lorsque la valeur de l'un des angles est connue consiste à appliquer les rapports trigonométriques, la hauteur représentant une jambe du triangle.

Par exemple, lorsque l'angle opposé à la hauteur est connu, il sera déterminé par le sinus:

Comment calculer les côtés?

Lorsque vous avez la mesure de deux côtés et l'angle opposé à ceux-ci, il est possible de déterminer le troisième côté en appliquant le théorème des cosinus.

Par exemple, dans un triangle AB, la hauteur relative du segment AC est tracée. De cette façon, le triangle est divisé en deux triangles droits.

Pour calculer le côté c (segment AB), le théorème de Pythagore est appliqué pour chaque triangle:

  • Pour le triangle bleu, vous devez:

c2 = h2 + m2

Comme m = b - n, il est remplacé:

c2 = h2 + b2 (b - n)2

c2 = h2 + b2 - 2 milliards + n2.

  • Pour le triangle rose, vous devez:

h2 = a2 - n2

Il est remplacé dans l'équation précédente:

c2 = a2 - n2 + b2 - 2 milliards + n2

c2 = a2 + b2 - 2 milliards.

Sachant que n = a * cos C, est substitué dans l'équation précédente et la valeur du côté c est obtenue:

c2 = a2 + b2 - 2b* un * cos c

Par la loi des cosinus, les côtés peuvent être calculés comme suit:

  • un2 = b2 + c2 - 2b* c * cos A.
  • b2 = a2 + c2 - 2a* c * cos B.
  • c2 = a2 + b2 - 2b* un * cos c

Il existe des cas où les mesures des côtés du triangle ne sont pas connues, mais leur hauteur et les angles formés dans les sommets. Pour déterminer la zone dans ces cas, il est nécessaire d'appliquer les rapports trigonométriques.

Connaissant l'angle d'un de ses sommets, les pattes sont identifiées et le rapport trigonométrique correspondant est utilisé:

Par exemple, la jambe AB sera opposée à l'angle C, mais adjacente à l'angle A. Selon le côté ou la jambe correspondant à la hauteur, l'autre côté est dégagé pour en obtenir la valeur.

Des exercices

Premier exercice

Calculez l'aire et la hauteur du triangle scalène ABC, sachant que ses côtés sont:

a = 8 cm.

b = 12 cm.

c = 16 cm

Solution

Comme données sont données les mesures des trois côtés du triangle scalène.

Comme vous n'avez pas la valeur de hauteur, vous pouvez déterminer la zone en appliquant la formule Heron.

Tout d'abord, le semiperimeter est calculé:

sp = (a + b + c) ÷ 2

sp = (8 cm + 12 cm + 16 cm) ÷ 2

sp = 36 cm ÷ 2

sp = 18 cm.

Maintenant, les valeurs dans la formule de Heron sont remplacées:

La connaissance de la zone peut être calculée en fonction de la hauteur relative par rapport au côté b. De la formule générale, en la nettoyant, nous avons:

Surface = (côté * h) ÷ 2

46, 47 cm2 = (12 cm * h) 2)

h = (2 * 46,47 cm2) Cm 12 cm

h = 92,94 cm2 Cm 12 cm

h = 7,75 cm.

Deuxième exercice

Étant donné le triangle scalène ABC, dont les mesures sont:

  • Segment AB = 25 m.
  • Segment BC = 15 m.

Au sommet B, un angle de 50 ° est formé. Calculez la hauteur relative du côté c, du périmètre et de la surface de ce triangle.

Solution

Dans ce cas, nous avons les mesures des deux côtés. Pour déterminer la hauteur, il est nécessaire de calculer la mesure du troisième côté.

Étant donné que l'angle opposé aux côtés donnés est donné, il est possible d'appliquer la loi des cosinus pour déterminer la mesure du côté AC (b):

b2 = a2 + c2 - 2a*c * cos B

Où:

a = BC = 15 m.

c = AB = 25 m.

b = AC.

B = 50o.

Les données sont remplacées:

b2 = (15)2 + (25)2 - 2*(15)*(25) * cos 50

b2 = (225) + (625) - (750) * 0,6427

b2 = (225) + (625) - (482,025)

b2 = 367,985

b = √367,985

b = 19,18 m.

Puisque nous avons déjà la valeur des trois côtés, nous calculons le périmètre de ce triangle:

P = coté a + coté b + coté c

P = 15 m + 25 m + 19, 18 m

P = 59,18 m

Maintenant, il est possible de déterminer la surface en appliquant la formule de Heron, mais il faut d'abord calculer le semiperimètre:

sp = P ÷ 2

sp = 59,18 m ÷ 2

sp = 29,59 m.

Les mesures des côtés et du demi-compteur sont remplacées dans la formule de Heron:

Enfin, sachant que la zone peut être calculée la hauteur relative du côté c. De la formule générale, en la nettoyant, vous devez:

Surface = (côté * h) ÷ 2

143,63 m2 = (25 m * h) ÷ 2

h = (2 * 143,63 m2÷ 25 m

h = 287,3 m2 ÷ 25 m

h = 11,5 m.

Troisième exercice

Dans le triangle scalène ABC, le côté b mesure 40 cm, le côté c 22 cm et dans le sommet A, il se forme un angle de 90o. Calculez l'aire de ce triangle.

Solution

Dans ce cas, les mesures des deux côtés du triangle scalène ABC sont indiquées, ainsi que l’angle formé dans le sommet A.

Pour déterminer l'aire, il n'est pas nécessaire de calculer la mesure du côté a, car grâce aux rapports trigonométriques, l'angle est utilisé pour le trouver.

Puisque l'angle opposé à la hauteur est connu, ceci sera déterminé par le produit d'un côté et le sinus de l'angle.

En substituant dans la formule de la zone, vous devez:

  • Surface = (côté * h) 2)
  • h = c * sen A

Area = (b * c * sen A) ÷ 2

Surface = (40 cm * 22 cm * sen 90) ÷ 2

Surface = (40 cm * 22 cm * 1) ÷ 2

Surface = 880 cm2 ÷ 2

Surface = 440 cm2.

Références

  1. Álvaro Rendón, A. R. (2004). Dessin technique: cahier d’activité.
  2. Ángel Ruiz, H. B. (2006). Géométries Technologie CR
  3. Angel, A. R. (2007). Algèbre élémentaire Pearson Education,.
  4. Baldor, A. (1941). Algèbre La Havane: Culture.
  5. Barbosa, J. L. (2006). Géométrie euclidienne plate. Rio de Janeiro,.
  6. Coxeter, H. (1971). Principes fondamentaux de la géométrie. Mexique: Limusa-Wiley.
  7. Daniel C. Alexander, G. M. (2014). Géométrie élémentaire pour les étudiants du collégial. Apprentissage du cengage
  8. Harpe, P. d. (2000). Rubriques de la théorie des groupes géométriques. University of Chicago Press.