Propriétés, types et exemples de homothétie



Le homotecie est un changement géométrique dans le plan où, à partir d'un point fixe appelé centre (O), les distances sont multipliées par un facteur commun. De cette façon, chaque point P correspond à un autre point P 'produit de la transformation, et ceux-ci sont alignés avec le point O.

Ensuite, l'homothétie est une correspondance entre deux figures géométriques, où les points transformés sont appelés homothétiques, et ceux-ci sont alignés avec un point fixe et avec des segments parallèles les uns aux autres.

Index

  • 1 homotecia
  • 2 propriétés
  • 3 types
    • 3.1 Homothétie directe
    • 3.2 Homothétie inverse
  • 4 Composition
  • 5 exemples
    • 5.1 Premier exemple
    • 5.2 Deuxième exemple
  • 6 références

Homotecia

L'homothétie est une transformation qui n'a pas d'image congruente, car on obtiendra d'une figure une ou plusieurs figures plus ou moins grandes que la figure d'origine; c'est-à-dire que l'homothétie transforme un polygone en un autre similaire.

Pour que l'homothétie soit remplie, ils doivent correspondre point à point et droits à droites, de sorte que les paires de points homologues soient alignées sur un troisième point fixe, qui est le centre de l'homothétie.

De même, les paires de lignes qui les rejoignent doivent être parallèles. La relation entre ces segments est une constante appelée ratio de l'homothétie (k); de telle sorte que l'homothétie puisse être définie comme suit:

Pour faire ce type de transformation, nous commençons par choisir un point arbitraire, qui sera le centre de l'homothétie.

A partir de là, des segments de ligne sont dessinés pour chaque sommet de la figure à transformer. L'échelle sur laquelle la reproduction du nouveau chiffre est faite est donnée par le rapport de l'homothétie (k).

Propriétés

L'une des principales propriétés de l'homothétie est que, pour des raisons d'homothétie (k), toutes les figures homothétiques sont similaires. Parmi les autres propriétés remarquables, citons les suivantes:

- Le centre de l'homothétie (O) est le seul point double et cela devient lui-même; c'est-à-dire que cela ne varie pas.

- Les lignes qui traversent le centre se transforment (elles sont doubles), mais les points qui le composent ne sont pas doubles.

- les droites qui ne passent pas par le centre sont transformées en lignes parallèles; de cette façon, les angles de l'homothétie restent les mêmes.

- L'image d'un segment par une homothétie du centre O et du rapport k est un segment parallèle à celui-ci et a k fois sa longueur. Par exemple, comme on le voit dans l'image suivante, un segment AB par homothétique donnera un autre segment A'B ', de sorte que AB sera parallèle à A'B' et le k sera:

- les angles homothétiques sont congruents; c'est-à-dire qu'ils ont la même mesure. Par conséquent, l'image d'un angle est un angle qui a la même amplitude.

En revanche, l'homothétie varie en fonction de la valeur de son ratio (k), et les cas suivants peuvent se produire:

- Si la constante k = 1, tous les points sont fixes car ils se transforment eux-mêmes. Ainsi, la figure homothétique coïncide avec l'original et la transformation sera appelée fonction d'identité.

- Si k ≠ 1, le seul point fixe sera le centre de l'homothétie (O).

- Si k = -1, l'homothétie devient une symétrie centrale (C); c'est-à-dire qu'il y aura une rotation autour de C, à un angle de 180o.

- Si k> 1, la taille de la figure transformée sera supérieure à la taille de l'original.

- Si 0 <k <1, la taille de la figure transformée sera inférieure à celle de l'original.

- Si -1 <k <0, la taille de la figure transformée sera plus petite et pivotée par rapport à l'original.

- Si k <-1, la taille de la figure transformée sera plus grande et pivotée par rapport à l'original.

Types

L'homothétie peut également être classée en deux types, en fonction de la valeur de son ratio (k):

Homothétie directe

Cela arrive si la constante k> 0; c'est-à-dire que les points homothétiques sont du même côté par rapport au centre:

Le facteur de proportionnalité ou le rapport de similarité entre les chiffres homothétiques directs sera toujours positif.

Homothétique inverse

Cela arrive si la constante k <0; c'est-à-dire que les points initiaux et leurs points homothétiques sont situés aux extrémités opposées par rapport au centre de l'homothétie, mais alignés sur celui-ci. Le centre sera entre les deux chiffres:

Le facteur de proportionnalité ou le rapport de similarité entre les chiffres inverses homothétiques sera toujours négatif.

Composition

Lorsque plusieurs mouvements sont effectués successivement jusqu'à l'obtention d'un chiffre égal à l'original, une composition de mouvements se produit. La composition de plusieurs mouvements est aussi un mouvement.

La composition entre deux homothécies se traduit par une nouvelle homothécie; c'est-à-dire que nous avons un produit homothétique dans lequel le centre sera aligné avec le centre des deux transformations originales, et le rapport (k) est le produit des deux raisons.

Ainsi, dans la composition de deux homothèques H1(O1k1) et H2(O2k2), en multipliant les raisons: k1 x k2 = 1 entraînera une homothétie du rapport k3 = k1 x k2. Le centre de cette nouvelle homothétie (O3) sera situé sur la ligne droite1 O2.

L'homothétie correspond à un changement plat et irréversible; si deux homothèques sont appliquées avec le même centre et le même rapport mais avec un signe différent, le chiffre original sera obtenu.

Des exemples

Premier exemple

Appliquez une homothétie au polygone central (O) donné, situé à 5 cm du point A et dont le rapport est k = 0,7.

Solution

Tout point est choisi comme centre de l'homothétie et de ce rayon sont tirés par les sommets de la figure:

La distance entre le centre (O) et le point A est OA = 5; avec cela vous pouvez déterminer la distance d'un des points homothétiques (OA ') en sachant aussi que k = 0.7:

OA '= k x OA.

OA '= 0.7 x 5 = 3.5.

Le processus peut être fait pour chaque sommet ou vous pouvez également dessiner le polygone homothétique en vous rappelant que les deux polygones ont des côtés parallèles:

Enfin, la transformation ressemble à ceci:

Deuxième exemple

Appliquez une homothétie au polygone central (O) donné, situé à 8,5 cm du point C et dont le rapport y est k = -2.

Solution

La distance entre le centre (O) et le point C est OC = 8,5; avec ces données, il est possible de déterminer la distance d'un des points homothétiques (OC '), sachant aussi que k = -2:

OC '= k x OC.

OC '= -2 x 8,5 = -17

Après avoir tracé les segments des sommets du polygone transformé, nous avons que les points initiaux et leurs homothétiques sont situés aux extrémités opposées par rapport au centre:

Références

  1. Álvaro Rendón, A. R. (2004). Dessin technique: cahier d’activité.
  2. Antonio Alvarez de la Rosa, J. L. (2002). Affinité, homologie et homothétie.
  3. Baer R. (2012). Algèbre linéaire et géométrie projective. Société de messagerie.
  4. Hebert, Y. (1980). Mathématiques générales, probabilités et statistiques.
  5. Meserve, B. E. (2014). Concepts fondamentaux de la géométrie. Société de messagerie.
  6. Nachbin, L. (1980). Introduction à l'algèbre. Reverte