Dérivés successifs (avec exercices résolus)



Ledérivés successifs sont les dérivés d'une fonction après la dérivée seconde. Le processus de calcul des dérivées successives est le suivant: nous avons une fonction f, que nous pouvons dériver et obtenir ainsi la fonction dérivée f '. A cette dérivée de f on peut la dériver à nouveau, en obtenant (f ')'.

Cette nouvelle fonction est appelée dérivée seconde; tous les dérivés calculés à partir de la seconde sont successifs; Celles-ci, également appelées ordres supérieurs, ont de grandes applications, comme donner des informations sur le tracé du graphique d'une fonction, le test de la dérivée relative pour les extrêmes relatifs et la détermination des séries infinies.

Index

  • 1 définition
    • 1.1 Exemple 1
    • 1.2 Exemple 2
  • 2 vitesse et accélération
    • 2.1 Exemple 1
    • 2.2 Exemple 2
  • 3 applications
    • 3.1 dérivation amplifiée
    • 3.2 Exemple
    • 3.3 Extrémités relatives
    • 3.4 Exemple
    • 3.5 série Taylor
    • 3.6 Exemple
  • 4 références

Définition

En utilisant la notation de Leibniz, nous avons que la dérivée d'une fonction "y" par rapport à "x" est dy / dx. Pour exprimer la dérivée seconde de "et" en utilisant la notation de Leibniz, nous écrivons comme suit:

En général, on peut exprimer les dérivées successives comme suit avec la notation de Leibniz, où n représente l’ordre de la dérivée.

Les autres notations utilisées sont les suivantes:

Quelques exemples où nous pouvons voir les différentes notations sont:

Exemple 1

Obtenir tous les dérivés de la fonction f définie par:

En utilisant les techniques de dérivation habituelles, nous avons que la dérivée de f est:

En répétant le processus, nous pouvons obtenir la deuxième dérivée, la troisième dérivée, etc.

Notez que la quatrième dérivée est zéro et que la dérivée de zéro est zéro, nous devons donc:

Exemple 2

Calculez la quatrième dérivée de la fonction suivante:

Dériver la fonction donnée que nous avons en conséquence:

Vitesse et accélération

Une des motivations ayant conduit à la découverte de la dérivée était la recherche de la définition de la vitesse instantanée. La définition formelle est la suivante:

Soit y = f (t) une fonction dont le graphe décrit la trajectoire d'une particule dans un instant t, alors sa vitesse à un instant t est donnée par:

Une fois que la vitesse d'une particule est obtenue, on peut calculer l'accélération instantanée, qui est définie comme suit:

L'accélération instantanée d'une particule dont le chemin est donné par y = f (t) est:

Exemple 1

Une particule se déplace sur une ligne en fonction de la fonction de position:

Où "y" est mesuré en mètres et "t" en secondes.

- A quel moment est ta vitesse 0?

- A quel moment est son accélération 0?

En dérivant la fonction de position "et" nous avons que sa vitesse et son accélération sont données respectivement par:

Pour répondre à la première question, il suffit de déterminer quand la fonction v devient nulle; c'est:

Nous procédons par analogie à la question suivante:

Exemple 2

Une particule se déplace sur une ligne selon l'équation de mouvement suivante:

Détermine "t, y" et "v" quand a = 0.

Sachant que la vitesse et l’accélération sont données par

Nous procédons à dériver et à obtenir:

En faisant a = 0, nous avons:

On peut en déduire que la valeur de t pour un être égal à zéro est de t = 1.

Ensuite, en évaluant la fonction de position et la fonction de vitesse à t = 1, il faut:

Applications

Dérivation amplifiée

Les dérivés successifs peuvent également être obtenus par dérivation implicite.

Exemple

Avec l'ellipse suivante, trouvez "et":

En dérivant implicitement par rapport à x, nous avons:

Puis, en revenant implicitement par rapport à x, cela nous donne:

Enfin, nous avons:

Extrémités relatives

Une autre utilisation que nous pouvons donner aux dérivés du second ordre réside dans le calcul des extrémités relatives d’une fonction.

Le critère de la première dérivée pour les extrêmes locaux nous dit que si nous avons une fonction f continue dans une plage (a, b) et qu'il existe un c qui appartient à cet intervalle tel que f 'est annulé dans c (c'est-à-dire que c est un point critique), l'un de ces trois cas peut se produire:

- Si f '(x)> 0 pour tout x appartenant à (a, c) et f' (x) <0 pour x appartenant à (c, b), alors f (c) est un maximum local.

- Si f '(x) <0 pour tout x appartenant à (a, c) et f' (x)> 0 pour x appartenant à (c, b), alors f (c) est un minimum local.

- Si f '(x) a le même signe dans (a, c) et dans (c, b), cela implique que f (c) n'est pas un point d'extrémité local.

En utilisant le critère de la dérivée seconde, on peut savoir si un nombre critique d’une fonction est un minimum ou un maximum local, sans avoir à voir quel est le signe de la fonction dans les intervalles susmentionnés.

Le critère de la dérivée seconde nous dit que si f '(c) = 0 et que f "(x) est continu dans (a, b), il arrive que si f" (c)> 0 alors f (c) est un minimum local et si f "(c) <0 alors f (c) est un maximum local.

Si f "(c) = 0, nous ne pouvons rien conclure.

Exemple

Étant donné la fonction f (x) = x4 + (4/3) x3 - 4x2, trouver les maxima et minima relatifs de f en appliquant le critère de la dérivée seconde.

Nous calculons d'abord f '(x) et f "(x) et nous avons:

f '(x) = 4x3 + 4x2 - 8x

f "(x) = 12x2 + 8x - 8

Maintenant, f '(x) = 0 si et seulement si 4x (x + 2) (x - 1) = 0, et cela se produit lorsque x = 0, x = 1 ou x = - 2.

Pour déterminer si les nombres critiques obtenus sont des extrêmes relatifs, il suffit d’évaluer en f "et d’observer ainsi son signe.

f "(0) = - 8, donc f (0) est un maximum local.

f "(1) = 12, donc f (1) est un minimum local.

f "(- 2) = 24, donc f (- 2) est un minimum local.

Série Taylor

Soit f une fonction définie comme suit:

Cette fonction a un rayon de convergence R> 0 et possède des dérivées de tous les ordres dans (-R, R). Les dérivés successifs de f nous donnent:

En prenant x = 0, on peut obtenir les valeurs de cn sur la base de ses dérivés comme suit:

Si on prend n = 0 comme fonction f (c'est-à-dire, f ^ 0 = f), on peut alors réécrire la fonction comme suit:

Considérons maintenant la fonction comme une série de puissances dans x = a:

Si nous effectuons une analyse analogue à la précédente, il faudrait écrire la fonction f comme:

Ces séries sont appelées séries de Taylor de f dans un. Lorsque a = 0, nous avons le cas particulier appelé la série Maclaurin. Ce type de série a une grande importance mathématique, en particulier dans l’analyse numérique, car grâce à cela, nous pouvons définir des fonctions dans des ordinateurs tels que:x , sin (x) et cos (x).

Exemple

Obtenez la série Maclaurin pour ex.

Notez que si f (x) = exalors f(n)(x) = ex et f(n)(0) = 1, c'est pourquoi sa série Maclaurin est:

Références

  1. Frank Ayres, J., et Mendelson, E. (s.f.). Calcul 5ed Mc Graw Hill.
  2. Leithold, L. (1992). LE CALCUL avec la géométrie analytique. HARLA, S.A.
  3. Purcell, E. J., Varberg, D. et Rigdon, S. E. (2007). Calcul Mexique: Pearson Education.
  4. Saenz, J. (2005). Calcul différentiel. Hypoténuse.
  5. Saenz, J. (s.f.). Calcul intégral Hypoténuse.